Menyelesaikan Persamaan Diferensial (5x^4+3x^2y^2-2xy^3)dx+(2x^3y-3x^2y^2-5y^4)dy=0
Persamaan diferensial yang diberikan adalah sebagai berikut:
$(5x^4+3x^2y^2-2xy^3)dx+(2x^3y-3x^2y^2-5y^4)dy=0$
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini, kita dapat menggunakan metode berikut:
Metode
Kita akan menggunakan metode integrasi separabel untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini. Pertama, kita akan mengelompokkan variabel x dan y secara terpisah.
Langkah 1: Mencari Fungsi Integrasi
Kita akan mencari fungsi integrasi terhadap x dan y. Pertama, kita akan mencari fungsi integrasi terhadap x.
$\int (5x^4+3x^2y^2-2xy^3)dx=0$
Mengintegrasikan persamaan di atas, kita mendapatkan:
$x^5+x^2y^2-xy^3=C_1$
Kemudian, kita akan mencari fungsi integrasi terhadap y.
$\int (2x^3y-3x^2y^2-5y^4)dy=0$
Mengintegrasikan persamaan di atas, kita mendapatkan:
$x^3y^2-x^2y^3-y^5=C_2$
Langkah 2: Menyelesaikan Persamaan
Kita akan menggabungkan fungsi integrasi yang kita dapatkan di atas untuk menyelesaikan persamaan diferensial.
$x^5+x^2y^2-xy^3=C_1$
$x^3y^2-x^2y^3-y^5=C_2$
Kita dapat menghubungkan dua persamaan di atas dengan mengganti variabel x dan y.
$x^5+x^2y^2-xy^3=x^3y^2-x^2y^3-y^5+C$
Sekarang, kita dapat menyederhanakan persamaan di atas untuk mendapatkan solusi akhir.
$x^5+x^2y^2-xy^3=x^3y^2-x^2y^3-y^5+C$
$\Rightarrow\qquad x^5+x^2y^2-xy^3-x^3y^2+x^2y^3+y^5=C$
$\Rightarrow\qquad x^5+x^2y^2-xy^3-x^3y^2+x^2y^3+y^5-C=0$
Demikianlah kita telah menyelesaikan persamaan diferensial $(5x^4+3x^2y^2-2xy^3)dx+(2x^3y-3x^2y^2-5y^4)dy=0$ menggunakan metode integrasi separabel.